catatan kuliah struktur aljabar

SUBGRUP NORMAL DAN GRUP FAKTOR

A.SUBGRUP NORMAL

Definisi 1

Contoh :

a. Subgrup 4Z dari 2Z apakah subgrup normal?

Subgrup 4Z dari 2Z membentuk koset kanan dan kiri sebagai berikut:

koset kirinya = 4Z, dan 2 + 4Z.

koset kananya = 4Z, dan 2 + 4Z.

Koset kiri dan kanan subgrup 4Z dari 2Z yang terbentuk adalah sama.

Jadi 4Z merupakan subgrup normal dari 2Z atau dapat dinotasikan 4Z2Z.

b. Subgrup{}dari S₃ apakah subgrup normal?

Dengan bantuan tabel maka diperoleh koset kanan dan koset kiri subgrup {}dari S₃ adalah sebagai berikut:

koset kiri = _0, },{_1, },{_2, },{, ₀},{, ₂},{, ₁ }.

koset kanan = _0, }, {_{1 ,} }, {_2, }, {, ₀},{, ₁}_,{, ₂}.

Koset kanan dan kiri subgrup{}dari S₃ tidak sama.

Jadi subgrup{}dari S₃ bukan subgrup normal dari S₃.

Untuk menunjukkan suatu subgrup normal atau tidak, dapat digunakan ekuivalensi berikut:

Teorema 1

Bukti :

(i)(ii). Diketahui gHg^-1H

Ø Ambil sebarang xgHg^-1

Maka x = gh₁g^-1 untuk suatu h₁H

Jadi dapat disimpulkan bahwa gHg^-1H ... (_*).

Ø Ambil sebarang yH.

Berdasarkan (i) diperoleh gyg^-1H

Jadi gyg^-1 = h₂ untuk suatu h₂H

Diperoleh gyg^-1 = h₂ y = g^-1h₂g

y = (g^-1)h₂(g^-1)^-1.

Karena gG maka g^-1G.

Ø Berdasarkan (i) diperoleh y = (g^-1)h₂(g^-1)^-1gHg^-1

Jadi dapat disimpulkan bahwa H gHg^-1 ... (_**)

Berdasarkan (*) dan (**) terbukti bahwa gHg^-1 = H.

(ii)(iii). Diketahui gHg^-1 = H untuk setiap gG

gHg^-1 = H gHg^-1g = Hg

gHe = Hg

gH = Hg.

Jadi untuk gHg^-1 = H berlaku gH = Hg untuk setiap gG.

(iii)(i). Diketahui gH = Hg untuk setiap gG.

gH = Hg gHg^-1 = Hgg^-1

gHg^-1 = He

gHg^-1 = H.

Diperoleh gHg^-1 = H.

Jelas gHg^-1 H .

Jadi untuk gH = Hg berlaku gHg^-1 H .

Jadi dari ketiga pembuktian diatas, jelas bahwa untuk (i)(ii), (ii)(iii), (iii)(i).

B. GRUP FAKTOR

Misalkan G grup dan H subgrup dari G. Apabila H merupakan subgrup normal maka koset kiri dan koset kanan dari H selalu sama. Misalkan didefinisikan operasi antar koset sebagai berikut:

(aH)(bH) = abH

Operasi antar koset tersebut akan terdefinisi (well defined) apabila H merupakan subgrup normal sebagaimana dinyatakan dalam teorema berikut:

Teorema 2

Teorema 3

Bukti

(i) Ambil sebarang aH, bHG/H.

Karena H subgrup normal maka aH = Ha dan bH = Hb .

(aH)(bH) = abH karena a,bG sehingga abG.

Jadi abH G/H.

(ii) Ambil sebarang Ha, Hb, HcG/H.

Karena H subgrup normal maka aH = Ha, bH = Hb, cH = Hc .

[(aH)(bH)](cH) = (abH)(cH) = abcH..._*.

(aH)[(bH)(cH)] = (aH)(bccH) = abcH…_**.

Dari _* dan _** diperolah bahwa [(aH)(bH)](cH) = (aH)[(bH)(cH)] = abcH a,b,cG.

Jadi operasi tersebut bersifat assosiatif.

(iii) Ambil sebarang aG.

Karena G grup maka terdapat eG sedemikian hingga ea = ae = a.

Ditunjukkan eHG/H sedemikian hingga (aH)(eH) = (eH)(aH) = aH.

Ambil sebarang aH, eHG/H.

(aH)(eH) = aeH = aH.

(eH)(aH) = eaH = aH.

Jadi tedapat eHG/H sedemikian hingga (aH)(eH) = (eH)(aH) = aH.

(iv) Ambil sebarang aG.

Karena G grup maka terdapat a^-1G sedemikian hingga aa^-1 = a^-1a = e.

Ditunjukkan a^-1HG/H sedemikian hingga (aH)(a^-1H) = (a^-1H)(aH) = eH.

Ambil sebarang Ambil sebarang aH, a^-1HG/H.

Diperoleh (aH)( a^-1H) = a a^-1H = eH.

(a^-1H) (aH) = a^-1aH = eH.

Jadi a^-1HG/H sedemikian hingga (aH)(a^-1H) = (a^-1H)(aH) = eH.

Definisi 2

Grup G/H terhadap operasi (aH)(bH) = abH dinamakan group faktor dari G modulo H.

Contoh :

Z merupakan grup abelian dan 4Z merupakan subgrup normal dari Z.

Koset – koset yang terbentuk adalah 4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z.

Apabila kita kenakan sebuah operasi antar koset dengan aturan (aH)(bH) = abH

maka diperoleh:

4Z +(1 + 4Z) = 1 + 4Z.

4Z +(2 + 4Z) = 2 + 4Z.

4Z +(3 + 4Z) = 3 + 4Z.

(1 + 4Z ) + (2 + 4Z) = 3 + 4Z.

(1 + 4Z ) + (2 + 4Z) = 4 + 4Z = 4Z.

dst....

selanjutnya kita himpun semua hasil operasi antar koset yang terbentuk tersebut yaitu:

{1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z}, kita namakan himpunan tersebut sebagai grup faktor dari G modulo H.

Selanjutnya kita tulis Z/4Z = {4Z, 1 + 4Z, 2 + 4Z, 3 + 4Z}.

Z/4Z merupakan grup faktor berorder 4.

Sumber:

- Fraleigh, John B. A. 1988. First Course in Abstract Algebra (fourth edition). Addison Wesley. United State.

- http://wijna.web.ugm.ac.id (diunduh pada tanggal 22 Mei 2009).

- Isnarto. 2008. Buku ajar struktur aljabar 1. Universitas Negeri Semarang. Semarang.

TUGAS INDIVIDU

KOSET

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Struktur Aljabar 1

semester genap tahun akademik 2008/2009

Dosen Pengampu: Isnarto, S.Pd, M. Si.

Oleh

Didik Susanto

4101407054

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2009

KOSET

Sebelum mempelajari koset, terlebih dahulu memahami tentang teorema yang dapat dijadikan latar belakang dari terbentuknya koset tersebut. Teorema tersebut adalah:

Teorema a.1

	Misalkan G grup H subgrup dari G. Didefinisikan relasi ~L (gelombang kiri) dan ~R (gelombang kanan) pada G dengan aturan : (i) a~L b a-1b H. (ii) a~R b ab-1 H. maka relasi ~L (gelombang kiri) dan ~R (gelombang kanan) merupakan relasi ekuivalen.

Bukti:

_1. Untuk ~_L

(i). Ambil sebarang a H.

a~_L aa^-1a.

e H.

Jadi ~_L bersifat refleksif.

(ii). Ambil sebarang a,bH.

a~_L b a^-1b H.

Adb b~_L ab^-1aH.

Karena a^-1bH maka a^-1b H.

mempunyai invers yaitu:

(a^-1b)^-1 = b^-1a H.

Jadi ~_L bersifat simetris.

(iii). Ambil sebarang a, b, c H

a~_L b a^-1b H.

b~_L cb^-1cH.

Adb a~_L ca^-1cH.

(a^-1b)( b^-1c) = a^-1b b^-1c.

= a^-1ec.

= a^-1cH.

Dari (i) s/d (iii) ~_L R. Ekivalen.

2. Untuk ~_R

(i). Ambil sebarang a H.

a~_R aaa^-1.

e H.

Jadi ~_R bersifat refleksif.

(ii). Ambil sebarang a,bH.

a~_R bab^-1H.

Adb b~_R a ba^-1H.

Karena ab^-1H maka ab^-1 H.

mempunyai invers yaitu:

(ab^-1)^-1 = ba^-1 H.

Jadi ~_R bersifat simetris.

(iii). Ambil sebarang a, b, c H.

a~_R bab^-1H.

b~_R c bc^-1H.

Adb a~_R c ac^-1H.

(ab^-1)( bc^-1) = a b^-1bc^-1.

= aec^-1.

= ac^-1H.

Dari (i) s/d (iii) ~_R R. Ekivalen.

Pada pembuktian diatas jelas ~_L dan ~_R merupakan relasi ekuivalen sehingga kedua relasi tersebut akan membentuk partisi pada G. Beri nama klas ekivalensi (sel) yang memuat a adalah aH (untuk ~_L) dan Ha (untuk ~_R) . Diperoleh:

(i) aH = {xGa}.

= { xG│x ^-1aH}.

= { xG│x ^-1a = h_o untuk suatu h_oH}.

= { xG│a^-1x = h_o^-1 untuk suatu h_o H}.

= { xG│x =ah_o^-1 untuk suatu h_o H}.

= { ah│hH}.

(ii) Ha = {xGa}.

= { xG│x a^-1H}.

= { xG│x a ^-1 = h_o untuk suatu h_oH}.

= { xG│x = h_oa untuk suatu h_o H}.

= { ha│hH}.

Berikut definisi dari koset:

Definisi a.1

Misalkan G grup, H subgrup dari G dan a G. (i). aH = { ah│hH}dianamakan koset kiri dari H yang memuat a, dan (ii). Ha = {ha│hH}dinamakan koset kanan dari H yang memuat a.

Contoh:

1. tentukan semua koset kiri dan kanan dari:

a. Subgrup 4Z dari 2Z.

b. Subgrup {}dari S_3.

Penyelesaian:

1. a. Dipunyai subgrup 4Z dari 2Z.

§ Misalkan koset kiri yang memuat k2Z adalah k + 4Z.

Ambil k = 0 diperoleh 4Z = {..., -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12,...}.

Koset kiri yang memuat 2 adalah:

2 + 4Z = {..., -10, -6, -2, 2, 6, 10, 14,...}.

Koset kiri yang memuat 4 adalah:

4 + 4Z = {...., -8, -4, 0, 4, 8, 12,...} = 4Z.

dst....

jadi koset kiri yang tebentuk adalah 4Z, dan 2 + 4Z.

§ Misalkan koset kanan yang memuat k2Z adalah 4Z + k.

Ambil k = 0 diperoleh 4Z = {..., -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12,...}.

Koset kanan yang memuat 2 adalah:

4Z + 2 = {..., -10, -6, -2, 2, 6, 10, 14,...}.

Koset kanan yang memuat 4 adalah:

4Z + 4 = {...., -8, -4, 0, 4, 8, 12,...} = 4Z.

dst....

jadi koset kanan tebentuk adalah 4Z, dan 4Z + 2.

Jadi koset kirinya sama dengan koset kanan.

b. Dipunyai subgrup{}dari S₃.

§ Koset kiri yang tebentuk adalah:

₀H = {_{00, 0}}= {_0, }.

₁H = {_{10, 1}}= {_1, }.

₂H = {_{20, 2}}= {_2, }.

H = {_0, }= {, ₀}.

H = {_0, }= {, ₂}.

H = {_0, }= {, ₁ }.

koset kirinya = {_0, },{_1, },{_2, },

{, ₀},{, ₂},{, ₁ }.

§ Koset kanan yang terbentuk adalah:

H₀ = {_{00, 0} } = {_0, }.

H₁ ={_{01, 1} } = {_{1 ,} }.

H₂ = {_{02, 2} } = {_2, }.

H = {_0, } = {, ₀}.

H = {_0, } = {, ₁ }.

H = {_0, } = {, ₂}.

Koset kanannya = {_0, }, {_{1 ,} }, {_2, }

{, ₀}, {, ₁}_, {, ₂}.

Jadi koset kiri tidak sama dengan koset kanan.

Teorema a.2

	Misalkan G grup, H subgrup dari G maka, (i). aH = H aH. (ii). aH = bH a-1bH.

Dalam tulisan berikut akan dibuktikan untuk teorema a.2 poin (ii)

Pada teorema diatas untuk poin (ii), ditunjukkan aH = bH a^-1bH.

Bukti:

() Dipunyai aH = bH.

Menurut hukum konselasi kiri a = b.

Jelas a = b a^-1a = a^-1b.

e = a^-1b.

Jelas e H.

Jadi a^-1bH.

() Dipunyai a^-1bH ditunjukkan aH = bH.

a^-1bH.

menurut teorema sebelumnya yaitu teorema poin (i),

diperoleh a^-1bH = H aa^-1bH = aH.

bH = aH.

aH = bH.

Jadi terbukti untuk aH = bH a^-1bH.

Sumber:

- Fraleigh, John B. A. 1988. First Course in Abstract Algebra (fourth edition). Addison Wesley. Philippines.

- Isnarto. 2008. Buku ajar struktur aljabar 1. Universitas Negeri Semarang. Semarang.

HOMOMORFISMA GRUP

Definisi 1

Misalkan G dan G’ grup. Pemetaan dinamakan homomorfisama grup apabila untuk setiap a,bÎG.

ab merupakam operasi biner pada grup G dan merupakan operasi biner pada G’.

Contoh 1:

1). Dipunyai dua buah grup dan , didefinisikan dengan . Buktikan apakahhomomorfisma grup?

2). Dipunyai dua buah . Didefinisikan dengan . Buktikan apakah ?

jawab:

1). Ambil sebarang a,bÎR⁺.

jelas (a) = 0 dan (b) = 0.

jelas (a.b) = 0.

jelas (a) +(b) = 0.

jelas (a.b) = (a) +(b)

= 0 + 0 = 0 .

karena untuk setiap a,bÎR⁺

berlaku (a.b) = (a)+(b) jadi homomorfisma grup.

2). Pilih 2, 3Î Z⁺

jelas (2) = 4.

jelas (3) = 6.

jelas (2­­­­+3) = (5) = 10.

jelas (2).(3) = 4 6 = 24.

jelas (2­­­­+3) (2).(3) .

karena terdapat 2,3Î Z+ tetapi (2­­­­+3) (2).(3),

jadi bukan homomorfisma grup.

Untuk sebarang dua grup G dan G’ dengan e’ elemen netral di G’ selalu terdapat homomorfisma grup dengan mendefinisikan untuk setiap gÎG (lihat contoh1). Homomorfisma grup tersebut dinamakan homomorfisma trivial. Demikian pula untuk setiap G, pemetaan dengan berarti untuk seluruh anggota g dipetakan ke anggota g juga maka terbentuk homomorfisma grup.

Definisi 2

Misalkan homomorfisma grup.

a. dinamakan monoformisma apabila injektif

b. dinamakn epimorfisma apabila surjektif

c. dinamakan epimorfisma ababila bijektif

d. dinamakan endomorfisma apabila G=G’

e. dinamakan automorfisma apabila G=G’ dan bijektif.

Teorema 1

jika epimorfisma dan G grup abelian maka G’ juga merupakan grup abelian.

Teorema 2

jika epimorfisma dan G grup siklik maka G’ juga merupakan grup siklik.

Sifat-Sifat Homomorfisma Grup

Definisi 3

Diketahui himpunan A,B,X,Y dengan AX dan BY. Misalkan pemetaan maka,

(i). Bayangan (image) dari A oleh didefinsikan sebagai

(ii). Prapeta (invers image) dari A olehdidefinisikan oleh

(iii).dinamakan range atau bayangan dari X oleh dan disimbolkan dengan Im.

Teorema 3

misalkan homomorfisma grup

(i). Jika e elemen identitas di G maka dengan e’ elemen identitas di G’.

(ii). jika maka

(iii). jika H subgrup dari G maka subgrup G’.

(iv). jika K’ subgrup dari G’ maka subgrup dari G.

berikut akan dibuktikan untuk teorema 3 poin (iv)

bukti:

(iv). Akan ditunjukkan subgrup dari G untuk K' subgrup dari G’

Ø Karena K’ subgrup dari G’, jelas e’Î K’.

jelas Î

jadi 0..............(1)

Ø jelas G............(2)

Ø ambil sebarang y₁,y₂ Î K' maka terdapat x_1, x₂ Î dimana

ditunjukkan x₁ x₂Î

diperoleh =

=

Karena y₁,y₂ Î K' maka Î .......(3)

Berdasar (1) s/d (3) subgrup dari G

Definisi 4

jika homomorfisma grup maka dinamakan kernel dari dan dismibolkan dengan .

Contoh 2 :

Pada contoh 1 no.1 ker() = R⁺ karena prapeta dari e’Î G’ adalah seluruh anggota domain dari yaitu R⁺

Teorema 4

jika homomorfisma grup maka merupkan subgrup normal dari G

Teorema 5

jika homormosfisma grup dengan maka untuk setiap aÎ G berlaku

Contoh 3:

Pada contoh 1 ker() = R⁺, karena seluruh anggota G dipetakan ke e’ sehingga prapeta adalah R⁺ dapat ditulis .

Teorema 6

Misalkan homormosfisma grup. Diperoleh injektif jika dan hanya jika .

Teorema 7 (Teorema Utama Homomorfisma Grup)

jika homormosfisma grup denganmaka .

Sumber:

- Fraleigh, John B. A. 1988. First Course in Abstract Algebra (fourth edition). Addison Wesley. United State.

- http://wijna.web.ugm.ac.id (diunduh pada tanggal 22 Mei 2009).

- Isnarto. 2008. Buku ajar struktur aljabar 1. Universitas Negeri Semarang. Semarang.

TUGAS INDIVIDU

HOMOMORFISMA GRUP

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Struktur Aljabar 1

semester genap tahun akademik 2008/2009

Dosen Pengampu: Isnarto, S.Pd, M. Si.

Oleh

Didik Susanto

4101407054

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2009

TUGAS INDIVIDU

KOSET

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Struktur Aljabar 1

semester genap tahun akademik 2008/2009

Dosen Pengampu: Isnarto, S.Pd, M. Si.

Oleh

Didik Susanto

4101407054

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2009